组合数学

  1. 抽屉原理(鸽笼原理)
  2. 容斥原理
  3. 加法原理
  4. 乘法原理
  5. 排列 \(A(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}\)
  6. 组合 \(C(n,m)=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}\)
    公式:
    \(C(n,m)=C(n,n-m)\)
    \(C(n,m)=C(n-1,m)+ C(n-1,m-1)\)
    \(C(n,0)+C(n,1)+\dots +C(n,n-1)+C(n,n)=2^n\)
  7. 可重复组合 方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数:
    可以理解为,将r个1排成一排,插入n-1个分隔符,把r个1分成n段,n段中的1的个数即是方程的一个解。
    插入n-1个分隔符的过程,实际上就是从n+r-1个位置中选择n-1个位置放分隔符,其余r个位置放1,
    共有\(C(n+r-1,n-1)=C(n+r-1,r)\)
  8. Catalan数 \(\frac{C(2n,n)}{n+1}\)
  9. \(C_n^m\)中每个元素出现的次数为\(C_n^m \times m \div n=C(n-1,m-1)\)